Tema 3.1

Áreas

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Tema 3.1.1

Área  bajo la gráfica de una función

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1.Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x² − 4x y el eje OX.

Video:

Fuente:http://www.itescam.edu.mx/principal/webalumnos/sylabus/asignatura.php?clave_asig=ACF-0902&carrera=ISIC-2010-224&id_d=133

Tema 3.2

Longitud de curvas

En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función   y su respectiva derivada   que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

Longitud de curvas planas

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Ejercicios:
1. Encuentre la longitud de arco de la curva 9y^2=4x^3 del origen al punto (3,2,3).
2. Halle la longitud del arco de la curva 8y=x^4+2x^-2 desde el punto donde x=1 al punto donde x=2

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Tema 3.3

Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. 

Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersecar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Los sólidos de revolución : Se engendran al hacer girar una figura plana sobre un eje.

Los sólidos de revolución que vamos a analizar en este bimestre son:

o    La esfera

o    El cono

o    El cilindro

La esfera: Es el sólido de revolución que se engendra al hacer girar una semicircunferencia tomando como eje su diámetro.

El cono: Es el sólido de revolución que se engendra al hacer girar un triángulo rectángulo tomando como eje uno de sus catetos.

    Se clasifican en:

Cono recto: El vértice equidista a la base circular

Cono oblicuo: El vértice no equidista a la base circular

Cilindro: Sólido de revolución que se engendra al hacer girar un rectángulo tomando como eje uno de sus lados.

El volumen de un cilindro se obtiene de la misma manera que se obtiene el volumen de cualquier prisma, es decir:

V = Ab x h

Ejemplo:

Obtén el volumen del cilindro

Datos:

Radio = 3cm

Altura = 8 cm

* Se obtiene el área de la base

Como la base es un círculo el área se obtiene con la fórmula A= π x r 2

(Se multiplica 3.1416 x 3 x 3), el resultado es 28.2744

Se multiplica por la altura del cilindro

Se multiplican 28.2744 x 8, resulta 226.1952

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tema 3.4

Centroide

En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

 CENTROIDE DE UNA REGION PLANA

Se conoce como centroide al centro de masa de una región sin masa en un plano

Sea g<=f funciones continuas en [a,b]. El centroide de la región delimitada por y = g(x), y=f(x), x =a, x = b viene dado por:

Donde A es el área de la región.
Un ejemplo de esta aplicación de la integral es:
Para hallar el centroide de la región limitada por las gráficas de f (x)= 4-x² y g (x)= x+2 tenemos que :

 Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el área es:

El centroide tiene coordenadas:

De donde obtenemos:

El centroide es: (-1/2,12/5).


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Tema 3.5

OTRAS APLICACIONES


El momento de inercia


El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimiento de giroscopios.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

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4.1 Definición de serie

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos a_n como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún .

• Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

• Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

• Una serie telescópica es la suma , donde a_n = b_n − b_n+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica^[1] es una serie de la forma , que cumple que = .