Calculo Integral: mayo 2011

lunes, 30 de mayo de 2011

4.4 Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

DEFINICION

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$

EJEMPLOS

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia

x - x 0 = x - 0 = x

, tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al

x 0 = 0

es menor que

r = 1

, por ejemplo el

x = 0.25

, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el

x = 2

, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función

1 / (1 - x)

en su desarrollo con centro

x 0 = 3

tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función

1 / (1 - x)

tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad:

| 0 - 1 | = 1

| 3 - 1 | = 2

. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función

e x

puede desarrollarse en series de potencia de

x - 0 = x

, de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real

x

por eso el radio de convergencia será infinito.

viernes, 27 de mayo de 2011

Tema 4.5

Serie de Taylor

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando.

f(x)=f(a)+f'(a)/1! + f''(a)/2!(x-a)^2+......+ f'''(a)/n!(x-a)

Donde n! es el factorial de n

F⁽ⁿ⁾ es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) ⁿ por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticosno afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

Cybergrafia: http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

para ver video y mas informacion con ejemplos haz click aqui

miércoles, 25 de mayo de 2011

Tema 4.6

Representación de Funciones por Serie de Taylor

Si escribimos formalmente la serie de Taylor de una forma entonces para demostrar qu ella serie escrita efectivamente representa la función dada. Es preciso demostrar que el termino complementario tienda a cero, o convencerse, de una u otra manera, de que la serie escrita converge hacia la función dada.

Notemos que para cada una de las funciones elementales determinadas existiera y R tales que en el intervalo (a – R, a + R) esta se desarrolla en la serie de Taylor.

De lo Expuesto se deduce que la serie de Taylor REPRESENTA la función dada f(x) solo cuando lim Rn (x) = 0. Si lim Rn (x) != o, la serie no representa la función dada, aunque puede converger (hacia otra función).

N.PISKUNOV

Calculo diferencial e integral (Tomo II)

Editorial Mir Moscu

lunes, 23 de mayo de 2011

Tema 4.7

Calculo de integrales expresadas como series de Taylor.

La principal pregunta pendiente es esta: dada una función f(por ejemplo, senx o ln(cos^2x)), ¿podemos representar la mediante una serie de potencias en X o más en general en X-a?

Más precisamente, ¿podemos hallar números C0, C1, C2, C3……..tales que

F(x)=C0 + C1(x-a) + C2(x-a)^2 + C3(x-a)^3 +……………………

Para x que pertenece a algún intervalo entorno de a?

Suponga que tal representación existe entonces: por el teorema de una derivación de una serie

f’(x)=C1 +2C2 (x-a) + 3C3 (x-a)^2 + 4C4 (x-a)^3 + …………..

f’’(x)= 2!C2 + 3!C3 (x-a) + 4*3 C4 (x-a)^2 + ……………….

F’’’(x)= 3!C3 + 4!C4 (x-a) + 5*4*3 C5 (x-a)^2 + …………….

Al sustituir x=a y resolver para Cn, obtenemos:

C0=f(a)

C1=f’(a)

C2=f’’(a)/2!

C3=f’’’(a)/3!

Y más generalmente

Cn=f(n)(a)/n!

Purcell, Varberg Rigdon

Calculo

Pearson - 2007