Tema 4.7

Calculo de integrales expresadas como series de Taylor.

La principal pregunta pendiente es esta: dada una función f(por ejemplo, senx o ln(cos^2x)), ¿podemos representar la mediante una serie de potencias en X o más en general en  X-a?

Más precisamente, ¿podemos hallar números C0, C1, C2, C3……..tales que

F(x)=C0 + C1(x-a) + C2(x-a)^2 + C3(x-a)^3 +……………………

Para x que pertenece a algún intervalo entorno de a?

Suponga que tal representación existe entonces: por el teorema de una derivación de una serie

f’(x)=C1 +2C2 (x-a) + 3C3 (x-a)^2 + 4C4 (x-a)^3 + …………..

f’’(x)= 2!C2 + 3!C3 (x-a) + 4*3 C4 (x-a)^2 + ……………….

F’’’(x)= 3!C3 + 4!C4 (x-a) + 5*4*3 C5 (x-a)^2 + …………….

Al sustituir x=a y resolver para Cn, obtenemos:

C0=f(a)

C1=f’(a)

C2=f’’(a)/2!

C3=f’’’(a)/3!

Y más generalmente

Cn=f(n)(a)/n!

Purcell, Varberg Rigdon

                Calculo

Pearson - 2007